關(guān)于幾何學(xué)的作文《幾何春秋》
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幾何學(xué)發(fā)源于尼羅河畔。在生產(chǎn)實(shí)踐中，古埃及人為了測(cè)量土地，劃分田界，興修水利，進(jìn)行建筑，取得了幾何學(xué)的初步成果。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得運(yùn)用歐多克斯及奧托利庫(kù)斯曾部分采用過(guò)的嚴(yán)密邏輯推理的方法，搜集、整理幾何知識(shí)并使之系統(tǒng)化，編纂成舉世聞名的《幾何原本》一書(shū)，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)。
歐氏幾何從客觀物體中抽象出不加定義的、原始的點(diǎn)、直線和平面的概念。人類在長(zhǎng)期的社會(huì)生活中總結(jié)出的、其真理性不容置疑的幾何命題，在歐氏幾何中就成了所謂公理(或公設(shè))，如“兩點(diǎn)確定一條直線”、“兩點(diǎn)之間線段最短”等。1899年，希爾伯特在其名著《幾何基礎(chǔ)》中，提出了一套在當(dāng)時(shí)最令人滿意的公理系統(tǒng)。歐氏幾何就從23個(gè)定義，5條公設(shè)和5條定理出發(fā)，按邏輯次序，系統(tǒng)而有組織地排列命題，并以嚴(yán)格的演繹方法證明命題。彭加勒認(rèn)為，那種能從最少的前提推導(dǎo)出最多的數(shù)學(xué)構(gòu)造是美的。歐氏幾何的這種“美”，使愛(ài)因斯坦大為贊賞，并感慨地說(shuō)：“如果歐幾里得幾何學(xué)未能激起你少年時(shí)代的創(chuàng)造熱情，那么你生就不是一位理論家。”
但是，在科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，歐氏幾何的缺陷卻越來(lái)越明顯。在《幾何原本》中有條“第五公設(shè)”：當(dāng)兩條直線被第三條直線所截，如有一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，則將這兩條直線向該側(cè)延長(zhǎng)后必定相交。這條公設(shè)的冗長(zhǎng)含混引起了人們的疑慮，但證明它的追求都相繼失敗了。達(dá)朗貝爾稱之為“幾何原理中的家丑”。
1826年，羅巴切夫斯基在一篇論文中宣布了他的研究成果，標(biāo)志著非歐幾何的創(chuàng)建。羅氏作出與歐氏平行公設(shè)相反的斷言：通過(guò)不在已知直線上的一點(diǎn)，至少有兩條直線與已知直線平行。以此作為公理，而與歐氏幾何的其他命題結(jié)合推導(dǎo)，他始終沒(méi)有得出矛盾。于是他作出兩個(gè)結(jié)論：(一)第五公設(shè)不能由其他公理和定理來(lái)證明;(二)在否定公設(shè)的基礎(chǔ)上可以展開(kāi)一系列的推論——定理，這些定理并不包含矛盾，形成邏輯上可能的一套理論。在這新幾何中，三角形內(nèi)角之和將小于180°。
三十年后，黎曼用另一個(gè)論斷取代了平行公設(shè)，即過(guò)直線外一點(diǎn)不可能引一條同該直線不相交的直線。由此他推出了一個(gè)新的非歐幾何——黎曼幾何。在黎曼幾何中，三角形內(nèi)角之和將大于180°。那么究竟什么幾何更接近于現(xiàn)實(shí)呢?實(shí)際測(cè)量表明歐氏幾何更符合客觀實(shí)際，但相對(duì)論認(rèn)為，歐氏幾何不是描述物質(zhì)空間最精確的方法。孰優(yōu)孰劣，只能靠實(shí)踐檢驗(yàn)了。
隨著射影幾何的發(fā)展，到19世紀(jì)末期，歐氏幾何及非歐幾何被統(tǒng)一在射影幾何的體系內(nèi)�？巳R因稱歐氏幾何為“拋物幾何”，羅氏幾何叫“雙曲幾何”，黎曼幾何叫“橢圓幾何”。射影幾何誕生于文藝復(fù)興時(shí)期，起源于物體在平面上的投影過(guò)程所得出的理論。1822年，彭賽列從幾何圖形中分出一部分特別的性質(zhì)作為研究對(duì)象，這種性質(zhì)叫射影性質(zhì)，研究圖形的'射影性質(zhì)的幾何即射影幾何。
射影幾何產(chǎn)生的同時(shí)，費(fèi)馬和笛卡爾用代數(shù)法研究幾何問(wèn)題取得成功，首創(chuàng)了解析幾何。解析幾何的中心是把代數(shù)方程與曲線、曲面等聯(lián)系起來(lái)，使幾何圖形與代數(shù)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換，達(dá)到數(shù)形的統(tǒng)一。它把純幾何法不能或難解的問(wèn)題變成代數(shù)運(yùn)算，從而使其相對(duì)易解。解析幾何是符號(hào)代數(shù)學(xué)的成果，同時(shí)使函數(shù)概念得以確立并獲得新的發(fā)展，這又是微積分產(chǎn)生的基礎(chǔ)。
18世紀(jì)微積分發(fā)展迅速。1731年，微分幾何應(yīng)運(yùn)而生。這種幾何以數(shù)學(xué)分析、微分拓?fù)錇檠芯抗ぞ�，主要討論光滑曲線與曲面的性質(zhì)。微分幾何在理論物理——如引力理論和規(guī)范場(chǎng)——的研究中得到廣泛應(yīng)用。
康托爾的點(diǎn)集理論擴(kuò)大形的范圍，龐加萊的拓?fù)鋵W(xué)使形的連續(xù)性成為幾何研究的對(duì)象：這些都賦予幾何學(xué)新的內(nèi)容�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的爆炸性發(fā)展，更是令幾何分支層出不窮、面目一新。誰(shuí)也無(wú)法預(yù)料，明天的幾何學(xué)將以何等姿態(tài)展現(xiàn)在人們面前。
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