幾何證明選講試題
幾何證明選講試題
知識聯(lián)系：那么，圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線的交點，
那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡單：圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個頂點的距離相等，則到一條線段兩個端點距離相等的點的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線段的中垂線，那么到四邊形四條邊的定點相等的點的集合一定是四條邊中垂線的交點了，這個問題一旦解決，第一問的圓心問題就簡單了。我們看半徑的求解方法。
(Ⅱ)當 時，方程 的兩根為 ， .
故 ， .
取 的中點 ， 的中點 ，分別過 作 的垂線，兩垂線相交于 點，
連接 .因為 ， ， ， 四點共圓，所以 ， ， ， 四點所在圓的圓心為 ，半徑為 .
由于 ，故 ， .
， .所以 .、
該解法是在做出圓心的基礎(chǔ)上求半徑的，考查高中數(shù)學重點知識垂直平分線的問題，很有新意。那么該問還有沒有其他的解法?有，請看......
解決策略二：解該題的第一個方法用到數(shù)學中基本方法和基本運算，但有點繁瑣，思路也不太好打開，有沒有不用做出圓心直接求半徑的方法？有！
知識聯(lián)系：(1)四邊形BCDE的外接圓是不是連接四邊形中任意三點的三角形的外接圓?答案是肯定的!
(2)三角形的外接圓半徑與解三角形中的哪個定理聯(lián)系很緊密?
——正弦定理
正弦定理的表達形式： = = =2R,其中這里邊的R，就是三角形的外接圓半徑。那么，我們只要找到三角形的一邊長和該邊所對的角，就能將半徑求出，而不需做出圓心。
解題過程：在△ABC中，連接DE、CD,根據(jù)AE=4，AC=6易知 ， .
則DE2 =AE2+AD2 所以DE=2 ，又在△ADC中，sin∠ACD= = =
所以在三角形DCE中， =2R=10 所以R=5 .
這種解題方法的掌握，是在有了扎實的基本功基礎(chǔ)上的巧妙聯(lián)想和合理推測證明，有利于學生知識體系的構(gòu)建和基礎(chǔ)知識的提升。
解決策略三：利用△ABC為直角三角形這個有利條件，聯(lián)想到解析幾何中圓的標準方程的求法，建立二維x-o-y坐標系，利用解析幾何的手段解決！
知識聯(lián)系：圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
Y
X
解題過程：在Rt△ABC中，以A點為原點，以AB為x軸，以AC為y軸，建立直角坐標系x-o-y系
根據(jù)AE=4，AC=6易知 ， .
則C(0,6), E(0,4), D(2,0), B(12,0)
設(shè)圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
將C、D、E三點的坐標帶入，得
36+6E+F=0 D=-14
16+4E+F=0 E=-10
4+2D+F=0 F=24
轉(zhuǎn)化成標準方程為(x-7)2+(y-5)2=50從而得到半徑是5 .
事實上，這個方法本身不難，但難就難在如何從幾何證明選講中迅速進行知識遷移，轉(zhuǎn)化成解析幾何問題，而這里的轉(zhuǎn)移，恰恰是解決這個問題的關(guān)鍵所在。
統(tǒng)觀這些解題方法，從本質(zhì)上來看都是組成高中數(shù)學知識框架的重要部分，并且都要求掌握，所以要求我們在平時的學習中夯實基礎(chǔ)，同時在學習的過程中還要將知識進行整理，讓知識聯(lián)系起來，別且要發(fā)揮我們想像的翅膀，做到深思熟慮，大膽聯(lián)想，合理推測，正確證明，這樣才能做到對知識的整體把握，才能舉一反三，這樣學起數(shù)學來就易如反掌了!