簡析幾個典型的古代數(shù)學問題

　　關鍵詞：雞兔同籠 百雞問題 孫子定理

　　數(shù)學在中國擁有悠久的歷史，在古人的智慧中，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美，探尋數(shù)學之趣， 數(shù)學的好玩之處，并不限于數(shù)學游戲。數(shù)學中有些極具實用意義的內容，包含了深刻的奧妙，發(fā)人深思，使人驚訝。中國古代的數(shù)學廣泛應用于各個領域，對中國古代的農(nóng)業(yè)、天文學等的發(fā)展作出了重大貢獻。其中的一些膾炙人口的趣味小問題也讓我們在探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美。

　　1.雞兔同籠問題

　　雞兔同籠問題是我國古代一道經(jīng)典的數(shù)學趣題。它記載于大約1500年前的《孫子算經(jīng)》中，書中是這樣描述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這句話的意思是：若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有三十五個頭：從下面數(shù)，有九十四只腳。求籠中各有幾只雞和兔？用解法一（假設法）：已知雞兔共有35只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，即，將兔子看做兩只腳的雞，雞兔總的腳數(shù)是35×2=70（只），比題中說的94只要少24只�？芍�這24只腳是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。所以有雞35-12=23（只）。 解：假設全是雞： 35×2=70（只）比總腳數(shù)少：94-70=24（只）它們腳數(shù)的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）雞：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：設兔有x只，則雞有35-x只。4x+2（35-x）=942x=24x=1235-12=23（只）故：有雞23只，兔12只。除此之外還有 解法3：（兔的腳數(shù)×總只數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）=雞的只數(shù)總只數(shù)－雞的只數(shù)=兔的只數(shù)解法4（ 總腳數(shù)－雞的腳數(shù)×總只數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)） =兔的只數(shù)總只數(shù)－兔的只數(shù)=雞的只數(shù)解法5：總腳數(shù)÷2—總頭數(shù)=兔的只數(shù)總只數(shù)—兔的只數(shù)=雞的只數(shù)解法4： 雞的只數(shù)=（4×雞兔總只數(shù)-雞兔總腳數(shù)）÷2 兔的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-雞的只數(shù)6解法7兔總只數(shù)=（雞兔總腳數(shù)-2×雞兔總只數(shù)）÷2 雞的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-兔總只數(shù)一個簡單的雞兔同籠問題卻能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通過對一個簡單的數(shù)學問題的剖析，你是否從中發(fā)現(xiàn)了探索的樂趣呢？在探索的過程中你是否體味到數(shù)學解題思想的變幻之美呢？

　　2.百雞問題

　　百雞問題記載于中國古代約5-6世紀成書的《張丘建算經(jīng)》中，該問題導致的三元不定方程組開創(chuàng)了“一問多答的先例”這是過去中國古算書書中所沒有的，體現(xiàn)了中國數(shù)學的發(fā)展。書中寫道：今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、鶵各幾何？意思是：公雞每只值5文錢，母雞每只值三文錢，而3 只小雞值1 文錢。現(xiàn)在用100 文錢買100 只雞，問：這100 只雞中公雞、母雞和小雞各有多少只？，原書的答案是：“答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。 ”這個問題流傳很廣，解法很多，但從現(xiàn)代數(shù)學觀點來看，它實際是一個求不定方成整數(shù)解的問題。解：設公雞、母雞、小雞分別為x、y、z只。則,由題意知: ①x＋y＋z ＝100②5x＋3y＋(1/3)z ＝100令②×3－①得: 7x＋4y＝100’所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4令x/4=t, （t為整數(shù)）所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=75+3t所以：x=4ty=25-7tz=75+3t因為x,y,z大于等于0所以4t≥025-7t≥075+3t≥0解之得：0≤t≤25/7又t為整數(shù)所以t=0,1,2,3當t=0時x=0,y=25,z=75當t=1時x ＝4；y ＝18；z ＝78當t=2時x ＝8；y ＝11；z ＝81當t=3時x ＝12；y ＝4；z ＝84小小的一個百雞問題讓我們看到了古人數(shù)學智慧，一題多答的解題方法也讓我們感受到數(shù)學嚴謹之外多變的魅力。

　　3.孫子定理

　　孫子定理來源于物不知其數(shù)問題，出自于一千六百年前我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》。原題為："今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之二，五五數(shù)之三，七七數(shù)之二，問物幾何？"變成一個純粹的數(shù)學問題就是：有一個數(shù)，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求這個數(shù)。這個問題很簡單：用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2，而用21除余2的數(shù)我們首先就會想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本題的一個答案。另一個著名的例子：韓信點一隊士兵的人數(shù)，三人一組余兩人，五人一組余三人，七人一組余四人。問：這隊士兵至少有多少人？這個題目是要求出一個正數(shù)，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的數(shù)盡可能地小。用3除余2這個條件開始。滿足這個條件的數(shù)是3n+2，其中n是非負整數(shù)。 要使3n+2還能滿足用5除余3的條件，可以把n分別用1，2，3，?代入來試。當n=1時，3n+2=5，5除以5不用余3，不合題意；當n=2時，3n+2=8，8除以5正好余3，可見8這個數(shù)同時滿足用3除余2和用5除余3這兩個條件。最后一個條件是用7除余4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎上得到一個數(shù)，使之同時滿足三個條件。為此，我們想到，可以使新數(shù)等于8與3和5的一個倍數(shù)的和。因為8加上3與5的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我們讓新數(shù)為8+ 15m，分別把m=1，2，?代進去試驗。當試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎題目要求。

　　其實，我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數(shù)學家程大位在他著的《算法統(tǒng)宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數(shù)比105大時，就105、105地往下減，使之小于105；這相當于用105去除，求出余數(shù)。這四句口訣暗示的意思是：當除數(shù)分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數(shù)，用21乘以用5除的余數(shù)，用15乘以用7除的余數(shù)，然后把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解。 按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數(shù)可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，這隊士兵至少有53人。上面的方法所依據(jù)的理論，在中國稱之為孫子定理，它充滿詩意的解題方法讓我深深體味到數(shù)學之美。中國古代的數(shù)學趣味問題用它多角度的解題方式鍛煉了我們的思維方式，也讓我們在思維的轉換中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的樂趣，體味到數(shù)學之美。

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